Question

17．已知x＞0，y＞0，x+2y-xy=0．
（Ⅰ）求xy的最小值；
（Ⅱ）求x+y的最小值．

Answer 1

分析 （I）由于x＞0，y＞0，x+2y-xy=0．变形利用基本不等式的性质即可得出．
（II）由x+2y=xy，解得y=$\frac{x}{x-2}$＞0，解得x＞2．变形x+y=x+$\frac{x}{x-2}$=x-2+$\frac{2}{x-2}$+3，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）∵x＞0，y＞0，x+2y-xy=0．
∴xy=x+2y$≥2\sqrt{x•2y}$，化为xy≥8，当且仅当x=2y=4时取等号．
∴xy的最小值是8；
（II）由x+2y=xy，解得y=$\frac{x}{x-2}$＞0，解得x＞2．
∴x+y=x+$\frac{x}{x-2}$=x-2+$\frac{2}{x-2}$+3≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{2}{x-2}}$+3=2$\sqrt{2}$+3，当且仅当x=2+$\sqrt{2}$，y=1+$\sqrt{2}$时取等号．
∴x+y的最小值为2$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．