题目内容
【题目】如图所示,在几何体中,四边形是菱形,平面,,且,.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角是直二面角,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)通过证明,,证明平面,再得到平面⊥平面.
(2)以为轴和轴,建立空间直角坐标系,设,求出平面的法向量和平面的法向量,利用二面角是直二面角求出,得到与的坐标,利用向量夹角公式,得到答案.
(1)证明:四边形是菱形,
平面,
而
平面,平面,
平面⊥平面
(2)设与的交点为,由(1)得,
如图:分别以为轴和轴,过点作垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.设,
则,
,,.
设是平面的法向量,则,
即,
令,平面AEF的一个法向量为
同理设,是平面的法向量,则
得平面的一个法向量为,
二面角是直二面角,
,.
,
设异面直线与所成角为
故所求异面直线与所成角为的余弦值为.