题目内容
（2013•青岛一模）已知点A（2，0），B（0，-2），F（-2，0），设∠AOC=α，α∈[0，2π），其中O为坐标原点．
（Ⅰ）设点C到线段AF所在直线的距离为
，且∠AFC=
，求α和线段AC的大小；
（Ⅱ）设点D为线段OA的中点，若|
|=2，且点C在第二象限内，求M=（
•
+
•
）cosα的取值范围．
（Ⅰ）设点C到线段AF所在直线的距离为
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）设点D为线段OA的中点，若|
| OC |
| 3 |
| DC |
| OB |
| BC |
| OA |
分析：（Ⅰ）过C作AF的垂线，垂足为E，由条件求得∠FOC=
，从而求得α，在△AFC中，由余弦定理求得AC的值．
（Ⅱ）由条件求得
、
、
的坐标，化简 M=（
•
+
•
）cos α的解析式为4cos（2α+
）+2，再根据α的范围，根据余弦函数的定义域和值域求得M的范围．
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由条件求得
| DC |
| OB |
| OA |
| 3 |
| DC |
| OB |
| BC |
| OA |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）过C作AF的垂线，垂足为E，则CE=
在直角三角形FCE中，FC=
=2，
又OF=2，∠OFC=
，所以△OFC为正三角形
所以∠FOC=
，从而α=π-∠FOC=
，或α=π+∠FOC=
…（4分）
在△AFC中，AC=
=
=2
…（6分）
（Ⅱ）∵A（2，0），点D为线段OA的中点，∴D（1，0）…（7分）
∵|
|=2且点C在第二象限内，
∴C（2cosα，2sinα），α∈(
，π)…（8分）
从而
=（2cosα-1，2sinα），
=（2cosα，2sinα+2），
=（2，0），
=（ 0，-2）．
则M=（
•
+
•
）cos α=-4
sinαcosα+4cos2α
=-2
sin2α+2（1+cos2α）=4cos（2α+
）+2，…（10分）
因为α∈（
，π），所以，2 α+
∈（
，
），从而-
＜cos(2α+
)≤1，
所以M的取值范围为（0，6]．…（12分）
| 3 |
在直角三角形FCE中，FC=
| CE |
| sin∠CFE |
又OF=2，∠OFC=
| π |
| 3 |
所以∠FOC=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
在△AFC中，AC=
| AF2+CF2-2AF•CFcos∠AFC |
42+22-2×2×4×
|
| 3 |
（Ⅱ）∵A（2，0），点D为线段OA的中点，∴D（1，0）…（7分）
∵|
| OC |
∴C（2cosα，2sinα），α∈(
| π |
| 2 |
从而
| DC |
| BC |
| OA |
| OB |
则M=（
| 3 |
| DC |
| OB |
| BC |
| OA |
| 3 |
=-2
| 3 |
| π |
| 3 |
因为α∈（
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
所以M的取值范围为（0，6]．…（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积，余弦定理以及余弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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