题目内容
【题目】多面体,
,
,
,
,
,
,
在平面
上的射影
是线段
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)过作
交
于
,连接
.根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明
,进而证明
平面
.
(2)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面
和平面
的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角
的余弦值.
(1)过作
交
于
,连接
,如下图所示:
由梯形中位线知,所以
,
又,故四边形
是平行四边形,所以
,
又平面
,
平面
,所以
平面
;
(2)由平面
,则
平面
,又
平面
,
所以平面平面
,
以点为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示:
则,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,得
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,得
,所以
,
因为所求二面角为锐角,所以其余弦值为.
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