题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知点
，和平面内一点
，过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点，设直线
的斜率分别为
，
，试求
满足的关系式.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
试题分析：（1）因为离心率
，所以
，又以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切，所以
，再结合
，求得
，
，即求得椭圆
标准方程；
（2）①当直线斜率不存在时，直线
，直线
与椭圆的交点
，
，所以
，又
，所以
，所以
的关系式为.②当直线的斜率存在时，设点
，设直线
，联立椭圆整理得：
，根系关系略，所以
化简得
，结合韦达定理得，所以，所以的关系式为.
试题解析：（1）因为离心率，所以，
又因为以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以，即
因为，
所以
所以椭圆标准方程；
（2）①当直线斜率不存在时，由
，解得
，不妨设，，
因为，所以，所以的关系式为.
②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以
所以，所以的关系式为.
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