题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆和抛物线交于两点,且直线恰好通过椭圆的右焦点.

1求椭圆的标准方程;

2经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于两点,点在椭圆上,且

其中为坐标原点,求直线的斜率.

【答案】12

【解析】

试题分析:1知,可设,其中,把,代入椭圆方程中解得,故椭圆方程为

2知直线的斜率不为零,故可设直线方程为,设,由已知,从而,由于均在椭圆上,故有:,三式结合化简得

,把直线方程为和椭圆方程联立并结合韦达定理,即可求得的值

试题解析:1知,可设,其中

由已知,代入椭圆中得:,解得

从而

故椭圆方程为

2,由已知

从而,由于均在椭圆上,故有:

第三个式子变形为:

将第一,二个式子带入得: *

分析知直线的斜率不为零,故可设直线方程为,与椭圆联立得:

,由韦达定理

*变形为:

将韦达定理带入上式得:,解得

因为直线的斜率,故直线的斜率为

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