题目内容
【题目】已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数的定义域,再求函数的导数,,分
和
两种情况讨论函数的单调性和单调区间;(Ⅱ)首先求
,因为
,所以设
,求函数的导数
,因为不能判断导函数的正负或是单调性,所以再求
,这样可分
,
和
的情况讨论
的正负,从而得到
的单调性以及最小值,进一步得到
的单调性和最值,即证明
,得到
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为
,
,
① ,则
,
在
上单调递增,
② 若,则由
,得
,
当时,
,
当时,
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
综上:当时,
的单调递增区间为
,
当时,
的单调递增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ) ,
令,
,
令,
,
①若,
,
在
递增,
,
在
上递增,
,
从而,不符合题意,
②若时,当
时,
,
在
上单调递增,
从而,
在
上递增,
,
从而,不符合题意,
③若,
在
恒成立,
在在
递减,
,
从而在
递减,
所以,
综上所述:的取值范围是
.
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