题目内容
【题目】棋盘上标有第、
、
、
、
站,棋子开始位于第
站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第
站或第
站时,游戏结束.设棋子位于第
站的概率为
.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋手所走步数之和
的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)求、
的值.
【答案】(1)分布列见解析,随机变量的数学期望为
;(2)证明见解析;
(3),
.
【解析】
(1)根据题意得出随机变量的可能取值有
、
、
、
,利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量
在相应取值时的概率,可列出随机变量
的分布列,由此计算出随机变量
的数学期望;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第
站跳
站得到,也可以由第
站跳
站得到,由此得出
,并在该等式两边同时减去
,可得出所证等式成立;
(3)结合(1)、(2)可得,利用累加法求出数列
的通项公式,从而可求出
和
的值.
(1)由题意可知,随机变量的可能取值有
、
、
、
.
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列如下表所示:
所以,随机变量的数学期望为
;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第
站跳
站得到,其概率为
,也可以由第
站跳
站得到,其概率为
,所以,
.
等式两边同时减去得
;
(3)由(2)可得,
,
.
由(2)可知,数列是首项为
,公比为
的等比数列,
,
,
又,则
,
由于若跳到第站时,自动停止游戏,故有
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌,得到如下列联表:
男生 | 女生 | 合计 | |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
Ⅰ
从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,现从这5人中随机选取3人做深度采访,求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率;
Ⅱ
根据以上
列联表,是否有
以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关?
下面的临界值表供参考:
参考公式:
,其中