题目内容
【题目】如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少?
(2)现需要倒出不少于的溶液,当时,能实现要求吗?请说明理由.
【答案】(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°(2)不能实现要求,详见解析
【解析】
(1)当倾斜至上液面经过点B时,容器内溶液恰好不会溢出,此时最大.
(2)当时,设剩余的液面为,比较与60°的大小后发现在上,计算此时倒出的液体体积,比小,从而得出结论.
(1)如图③,当倾斜至上液面经过点B时,容器内溶液恰好不会溢出,此时最大.
解法一:此时,梯形的面积等于,
因为,所以,,
即,解得,.
所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°.
③
解法二:此时,的面积等于图①中没有液体部分的面积,即,
因为,所以
,即,
解得,.
所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°.
(2)如图④,当时,设上液面为,因为,所以点F在线段上,
④
此时,,,
剩余溶液的体积为,
由题意,原来溶液的体积为,
因为,所以倒出的溶液不满.
所以,要倒出不少于的溶液,当时,不能实现要求.
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