题目内容

【题目】如图,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图均为容器的纵截面).

1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少?

2)现需要倒出不少于的溶液,当时,能实现要求吗?请说明理由.

【答案】1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°(2)不能实现要求,详见解析

【解析】

1)当倾斜至上液面经过点B时,容器内溶液恰好不会溢出,此时最大.

2)当时,设剩余的液面为,比较60°的大小后发现上,计算此时倒出的液体体积,比小,从而得出结论.

1)如图,当倾斜至上液面经过点B时,容器内溶液恰好不会溢出,此时最大.

解法一:此时,梯形的面积等于

因为,所以

,解得

所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°

      ③

解法二:此时,的面积等于图中没有液体部分的面积,即

因为,所以

,即

解得

所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,的最大值是45°

2)如图,当时,设上液面为,因为,所以点F在线段上,

       ④

此时,

剩余溶液的体积为

由题意,原来溶液的体积为

因为,所以倒出的溶液不满

所以,要倒出不少于的溶液,当时,不能实现要求.

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