题目内容
【题目】已知抛物线
，
为其焦点，
为其准线，过任作一条直线交抛物线于
两点，
、
分别为
、
在上的射影，
为
的中点，给出下列命题：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
与
的交点的
轴上；（5）
与
交于原点.
其中真命题的序号为_________.
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【解析】
（1）由
、
在抛物线上，根据抛物线的定义可知
，
，从而有相等的角，由此可判断
；
（2）取
的中点
，利用中位线即抛物线的定义可得
，从而可得
；
（3）由（2）知，
平分
，从而可得
，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
（4）取
与
轴的交点
，可得
，可得出
的中点在轴上，从而得出结论；
（5）设直线的方程为
，设点
、
，证明出
、
、三点共线，同理得出、、
三点共线，由此可得出结论.
（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线
上的射影，
根据抛物线的定义可知，，则
，
，
，
，则
，
即
，
，则
，即，（1）正确；
（2）取的中点，则，
，即，
（2）正确；
（3）由（2）知，
，
，
，
，
，
平分，
，由于
，
，（3）正确；
（4）取与轴的交点，则
，
轴，可知
，
，即点
为的中点，由（3）知，平分，
过点，
所以，与的交点的轴上，（4）正确；
（5）设直线的方程为，设点、，则点
、
，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去
得，
，
由韦达定理得
，
，
直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
，
则、、三点共线，同理得出、、三点共线，
所以，
与
交于原点，（5）正确.
综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.
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