Question

【题目】如图1，在直角梯形中，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可证明，利用面面垂直的性质可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理可得结果；（2）作,以为轴建立坐标系，分别利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）在图1中，可得，从而，故，

取中点连结,则，又面面，

面面面，从而平面，∴，

又，∴平面，故平面平面；

（2）

建立空间直角坐标系如图所示，则，

，

设为面的法向量，

则即，解得，

令，可得，

又为面的一个法向量，

∴，∴二面角的余弦值为.