题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)若函数在其定义域内单调递减,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若,且关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题(Ⅰ)的定义域是
,由于函数
在其定义域内单调递减,所以
在
时恒成立,即
在
恒成立.解法一:因为
,所以二次函数开口向下,对称轴
,问题转化为
;即可求出a的范围;解法二,分离变量,得
在
恒成立,即
,当
时,
取最小值
,即可求出a 的范围;(Ⅱ)由题意
,即
,
设则
列表可知
,
,又
,方程
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.根据函数图象可知
, 即可求出b的范围.
试题解析:解:(Ⅰ)的定义域是
,求导得
依题意在
时恒成立,即
在
恒成立.
这个不等式提供2种解法,供参考
解法一:因为,所以二次函数开口向下,对称轴
,问题转化为
所以,所以
的取值范围是
解法二,分离变量,得在
恒成立,即
当时,
取最小值
,∴
的取值范围是
(Ⅱ)由题意,即
,
设则
列表:
极大值 | 极小值 |
∴,
,又
方程
在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则, 得
(注意
)
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