题目内容
【题目】设圆的圆心为A,直线
过点B(1,0)且与
轴不重合,
交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明:为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线交C1于M,N两点,过B且与
垂直的直线与C1交于P,Q两点, 求证:
是定值,并求出该定值.
【答案】(I)(
);(II)
【解析】
(I)根据几何关系,即可证明为定值,再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)利用点斜式设出直线的方程,与椭圆方程联立方程组,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数关系以及弦长公式表示出
,同理可得
,代入
中进行化简即可证明
为定值。
(I)因为,
,故
,
所以,故
.
又圆的标准方程为
,从而
,
所以,由题设得
,
,
,
由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
(
).
(II)依题意:与
轴不垂直,设
的方程为
,
,
.
由得,
.
则,
.
所以.
同理: 故
(定值)
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