Question

【题目】已知盒子中装有红色、蓝色纸牌各100张，每种颜色纸牌均含标数为的纸牌各一张，两种颜色纸牌的标数总和记为.

对于给定的正整数，若能从盒子中取出若干张纸牌，使其标数之和恰为，则称其为一种取牌“n—方案”.记不同的n—方案种数为.试求的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

将盒子中的纸牌按标数从小到大的顺序排成一列值相等的两项不同色，对于每个，数列前项之和小于，故形如的项必从两个中选出（任何其他项的和不等于），于是，选出一个有两种方法，同时选出两个只有一种方法.

对于集合中的每个数，可将其表示为含有一百个数位的三进制形式，

即，其中，.

若在中恰有个为1（其余的个数为0或2），则（这是因为每个1有红、蓝两种选取方案）.

现将集合分解为,

其中，集合中的每个数在表示成上述三进制形式后，其系数恰有个为1（其余的个数为0或2），因此，集合中共有个数（这是因为从中选取个为1，有种选法，其余的个数每个可取作0或2，有种方法）.

这样，集合中各数的值之和为

.

由于集合两两不相交，从而， .

注意到，，即数列中的每个数均不选，其方案数，故.