题目内容
【题目】如图,已知是上、下底边长分别为2和6,高为
的等腰梯形,将它沿对称轴
折叠,使二面角
为直二面角.
(1)证明: ;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)由OA⊥OO1,OB⊥OO1,知∠AOB是所折成的直二面角的平面角,从而OA⊥OB,进而推导出OC⊥BO1,由此能证明AC⊥BO1.
(2)推导出BO1⊥平面AOC,设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连结O1F,则∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角,由此能求出二面角O﹣AC﹣O1的余弦值.
试题解析:
证明:(1)由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1,
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,
即OA⊥OB
从而AO⊥平面OBCO1,
OC是AC在面OBCO1内的射影
因为tan∠OO1A==
,tan∠O1OC=
=
,
所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,
从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
解:(2)由(1)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC
设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连结O1F(如图),
则EF是O1F在平面AOC 内的射影,
由三垂线定理得O1F⊥AC
所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角
由题设知OA=3,OO1=,O1C=1,
所以=2
,AC=
=
,
从而=
,
又O1E=OO1sin30°=,
所以sin∠O1FE==
,
∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值为.
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