题目内容

【题目】如图,已知是上、下底边长分别为26,高为的等腰梯形,将它沿对称轴折叠,使二面角为直二面角.

1)证明:

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)由OA⊥OO1,OB⊥OO1,知∠AOB是所折成的直二面角的平面角,从而OA⊥OB,进而推导出OC⊥BO1,由此能证明AC⊥BO1

(2)推导出BO1⊥平面AOC,设OC∩O1B=E,过点EEF⊥ACF,连结O1F,则∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角,由此能求出二面角O﹣AC﹣O1的余弦值.

试题解析:

证明:(1)由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,

OA⊥OB

从而AO⊥平面OBCO1

OCAC在面OBCO1内的射影

因为tan∠OO1A==,tan∠O1OC==

所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,

从而OC⊥BO1

由三垂线定理得AC⊥BO1

解:(2)由(1)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC

OC∩O1B=E,过点EEF⊥ACF,连结O1F(如图),

EFO1F在平面AOC 内的射影,

由三垂线定理得O1F⊥AC

所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角

由题设知OA=3,OO1=,O1C=1,

所以=2,AC==

从而=

O1E=OO1sin30°=

所以sinO1FE==

∴二面角OACO1的正弦值为

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