题目内容
【题目】已知函数.
(1) 若,求的最小值;
(2) 若在上单调递增,求的取值范围;
(3) 若, 求证:.
【答案】(1);(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)先求出,再用求导的方法求出单调区间,极值,从而求出最值;
(2)问题转化为在恒成立,方法有二:
解法一:对分类讨论,求出;
解法二:分离出参数,构造函数,转化为与函数的最值关系;
(3)应用二次求导,先确定,要证,转为证,利用函数的单调性证转为证的大小关系,构造函数,通过研究函数的最值,从而得到结论.
解:(1)函数的定义域为,
,
若,记,则
的单调减区间为,单调增区间为.
的最小值为
(2)在上单调递增,
当且仅当在区间恒成立,
即在区间恒成立,
(I) 若,由(1)知
在定义域上单调递增,满足条件
(II)若,
令,
所以取有,不合题意
综上所述,若在上单调递增,则的取值范围是
(2)法二:
记,则
记,则
在上单调递减
(根据洛比塔法则)
.
(3) 若,,
∴ 在上单减,
当 时,在(0,1)上单增;
当时,在(1,+)上单减;
令,则
其中令
当时,在单减,
在(0,1)上单增,
又在上单调递减
【题目】随着自媒体直播平台的迅猛发展,直播平台上涌现了许多知名三农领域创作者,通过直播或视频播放,帮助当地农民在直播平台上销售了大量的农产品,促进了农村的经济发展,当地农业与农村管理部门对近几年的某农产品年产量进行了调查,形成统计表如下:
年份 | ||||||
年份代码 | ||||||
年产量(万吨) |
(1)根据表中数据,建立关于的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测年该地区该农产品的年产量;
(3)从年到年的年年产量中随机选出年的产量进行具体调查,求选出的年中恰有一年的产量小于万吨的概率.
附:对于一组数据、、、,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.(参考数据:)