题目内容

【题目】已知函数

(1) ,求的最小值;

(2) 上单调递增,求的取值范围;

(3) 求证:

【答案】(1);(2);(3)详见解析.

【解析】

1)先求出,再用求导的方法求出单调区间,极值,从而求出最值;

2)问题转化为恒成立,方法有二:

解法一:对分类讨论,求出

解法二:分离出参数,构造函数,转化为与函数的最值关系;

3)应用二次求导,先确定,要证,转为证,利用函数的单调性证转为证的大小关系,构造函数,通过研究函数的最值,从而得到结论.

解:(1)函数的定义域为

,记,则

的单调减区间为,单调增区间为.

的最小值为

2上单调递增,

当且仅当在区间恒成立,

在区间恒成立,

(I) ,由(1)知

在定义域上单调递增,满足条件

(II)

所以取,不合题意

综上所述,若上单调递增,则的取值范围是

(2)法二:

,则

,

上单调递减

(根据洛比塔法则)

.

3

上单减,

时,在(01)上单增;

时,在(1+)上单减;

,则

其中令

时,单减,

在(0,1)上单增,

上单调递减

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