Question

18．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别为AD，BC的中点，点O为原正方形中心，求折起后∠EOF的大小．

Answer 1

分析 可连接BO，DO，根据正方形的对角线互相垂直便有BO⊥AC，DO⊥AC，而折成的为直二面角，从而平面ABC⊥平面ADC，从而可得到BO⊥平面ADC，这便可得出OD，OC，OB三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．然后求出空间一些点的坐标，从而可以得出向量$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}$的坐标，这样便可根据向量夹角的余弦公式求出向量$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OF}$的夹角，从而便可得出∠EOF的大小．

解答 解：折起后的图形如下所示：
连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC；
又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC=AC；
∴BO⊥平面ADC；
∴OD，OC，OB三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则可确定以下几点坐标：
O（0，0，0），A（0，-1，0），D（1，0，0），E（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0$），B（0，0，1），C（0，1，0），F（$0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{OE}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0），\overrightarrow{OF}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$cos＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}＞=\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{OF}|}$=$\frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{1}{2}}}=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}＞=120°$；
∴∠EOF=120°．

点评 考查二面角及直二面角的概念，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求空间角的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标求向量的坐标，以及向量夹角余弦的坐标公式．