题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求实数
取值的集合;
(Ⅱ)证明:.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析
【解析】
(1)当时,不满足题意,当
时,求
的最小值,即可得到本题答案;
(2)要证,只需证当
时,
,
求得的最小值,即可得到本题答案.
(Ⅰ)由已知,有
当时,
,与条件
矛盾,
当时,若
,则
,
单调递减,若
,则
,则
单调递增.
所以在
上有最小值
,
由题意,所以
.
令,所以
,
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,所以
在
上有最大值
,所以
,
,
,
,
综上,当时,实数
取值的集合为
;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知:时,
,即
在
时恒成立.
要证,只需证当
时,
令
,令
,
则,令
,解得
,
所以,函数在
内单调递减,在
上单调递增.
即函数在
内单调递减,在
上单调递增.
而.
存在
,使得
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
当时,
单调递增,
又,
对
恒成立,即
,
综上可得:成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附:临界值表
参考公式: .