题目内容
【题目】在长方体中,
分别是
的中点,
,过
三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体
,且这个几何体的体积为
.
(1)求证:平面
;
(2)求的长;
(3)在线段上是否存在点
,使直线
与
垂直,如果存在,求线段
的长,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立;(2)利用等体积转化
,求出
;(3)在平面
中作
,过
作
,推出
,证明
,推出
相似于
,求得
.
试题解析:解:(1)在长方体中,可知
,由四边形
是平行四边形,所以
.因为
分别是
的中点,所以
,则
,
又面
面
,则
平面
............4分
(2)∵,
∴..................8分
(3)在平面中作
交
于
,过
作
交
于点
,则
.
因为平面
平面
,∴
,而
,∴
,
又∵,∴
平面
,
且平面
,∴
,
∵,∴
,∴
,又∵
,∴
.
∵四边形为直角梯形,且高
,∴
.......... 12分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学为了了解全校学生的阅读情况,在全校采用随机抽样的方法抽取了60名学生(其中初中组和高中组各30名)进行问卷调查,并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计,将每组学生去图书馆的次数分为5组: ,分别制作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
分组 | 人数 | 频率 |
3 | ||
9 | ||
9 | ||
0.2 | ||
0.1 |
(1)完成频率分布表,并求出频率分布直方图中的值;
(2)在抽取的60名学生中,从在一个月内去图书馆的次数不少于16次的学生中随机抽取3人,并用 表示抽得的高中组的人数,求
的分布列和数学期望.
【题目】2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行,某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松、10公里健身跑、迷你马拉松3个项目(每人只报一项),报名情况如下:
项目 | 半程马拉松 | 10公里健身跑 | 迷你马拉松 |
人数 | 2 | 3 | 5 |
(其中:半程马拉松公里,迷你马拉松
公里)
(1)从10人中选出2人,求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率;
(2)从10人中选出2人,设为选出的两人赛程距离之和,求随机变量
的分布列.