题目内容
(理)已知函数f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值;
(Ⅱ)若f(x)<4-At对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数A的取值范围.
(Ⅰ)求f(x)的最大值为最小值为;(Ⅱ)A<.
解析试题分析:(1)直接求出函数的导数,通过导数为0,求出函数的极值点,判断函数的单调性,利用最值定理求出f(x)的最大值与最小值;
(2)利用(1)的结论,f(x)<4-At于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,转化为4-At>对任意t∈[0,2]恒成立,通过 求实数A的取值范围.
试题解析:(1)因为函数f(x)=﹣lnx,
所以f′(x)=,令f′(x)=0得x=±2,
因为x∈[1,3],
当1<x<2时 f′(x)<0;当2<x<3时,f′(x)>0;
∴f(x)在(1,2)上单调减函数,在(2,3)上单调增函数,
∴f(x)在x=2处取得极小值f(2)=﹣ln2;
又f(1)=,f(3)=,
∵ln3>1∴
∴f(1)>f(3),
∴x=1时 f(x)的最大值为,
x=2时函数取得最小值为﹣ln2.
(2)由(1)知当x∈[1,3]时,f(x),
故对任意x∈[1,3],f(x)<4﹣At恒成立,
只要4﹣At>对任意t∈[0,2]恒成立,即At恒成立
记 g(t)=At,t∈[0,2]
∴,解得A,
∴实数A的取值范围是(﹣∞,).
考点:1、利用导数求闭区间上函数的最值;2、利用导数研究函数的单调性.
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