题目内容
设函数f(x)=+ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a≥2时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对任意及任意,∈[1,2],恒有成立,求实数m的取值范围.
(Ⅰ),无极大值;(Ⅱ)当时,单调递减 ,当时,单调递减,在上单调递增;(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的极值,只需对函数求导,求出导数等零点,及在零点两边的单调性,注意, 求函数的极值不要忽略求函数的定义域;(Ⅱ)讨论函数的单调性,只需判断的导数在区间上的符号,因此,此题先求导,在判断符号时,发现参数的取值对有影响,需对参数讨论,分,与两种情况,从而确定单调区间;(Ⅲ)对任意及任意,∈[1,2],恒有成立,只需求出的最大值即可.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为,当时, 令,当时,;当时,,单调递减,在单调递增,,无极大值 ;
(Ⅱ)
,,①当即时,上是减函数,②当,即时,令,得,令,得
综上,当时,单调递减 ,当时,单调递减,在上单调递增;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,上单调递减,当时,有最大值,当时,有最小值,, ,
而经整理得 .
考点:函数与导数,导数与函数的单调性、导数与函数的极值,导数与不等式的综合应用,考查学生的基本推理能力,考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力.
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