题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率
,点
是椭圆上的一个动点,
面积的最大值是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,问是否存在直线
与椭圆
交于
两点,且
,若存在,求出直线
斜率的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)根据焦点三角形面积最大时与短轴端点重合可得
的值,与离心率和椭圆
一起构造方程组,可求得
的值,进而得到椭圆方程;
(2)假设存在直线满足题意,将直线与椭圆方程联立,由
可得到
满足的不等式;设
中点为
,由线段长相等可知
,得到
,由此可求得
,代入
满足的不等式可解不等式求得
的范围.
(1)当与椭圆短轴端点重合时,
面积最大
又,
,解得:
,
椭圆的方程为:
(2)假设存在满足题意的直线,设直线
,
,
将与椭圆方程联立消去
得:
则
…①
,
设中点
,则
,
即,整理可得:
将代入①可得:
,即
解得:
存在满足题意的直线
,其斜率的取值范围为
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