题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线过点
且与直线
垂直,直线
与
轴交于点
,点
与点
关于
轴对称,动点
满足
.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与轨迹
相交于
两点,设点
,直线
的斜率分别为
,问
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(Ⅰ)由已知设直线的方程为
,
因为点在直线
上,所以
,解得
.
所以直线的方程为
.
令,解得
,所以
,故
.
因为,
由椭圆的定义可得,动点的轨迹
是以
为焦点的椭圆,长轴长为4.
所以,
,
所以轨迹的方程为
.
(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,由
,解得
.
不妨设,
,则
.
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
由,消去
,得
,
依题意,直线与轨迹
必相交于两点,设
,
,
则,
,
又,
,
所以
.
综上可得,为定值
.
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