题目内容

10.已知函数fn(x)=$\frac{{{x^2}-2x-a}}{{{e^{nx}}}}$,其中n∈N*,a∈R,e是自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数g(x)=f1(x)-f2(x)的零点;
(Ⅱ)若对任意n∈N*,fn(x)均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)求函数g(x)=f1(x)-f2(x)=$\frac{({x}^{2}-2x-a)({e}^{x}-1)}{{e}^{2x}}$,令g(x)=0,即x=0;或 x2-2x-a=0;△=4+4a,分情况讨论可解得零点;
(II)fn′(x)=$\frac{-n{x}^{2}+2(n+1)x+na-2}{{e}^{nx}}$,设gn(x)=-nx2+2(n+1)x+an-2,gn(x)的图象是开口向下的抛物线,gn(x)=0有两个不等实数根x1,x2,且x1∈[1,4],x2∉[1,4]则gn(1)gn(4)<0,即可推得-1<a<(8-$\frac{6}{n}$)min,故-1<a<2.

解答 解:(I)g(x)=f1(x)-f2(x)=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{{e}^{x}}$-$\frac{{x}^{2}-2x-a}{{e}^{2x}}$=$\frac{({x}^{2}-2x-a)({e}^{x}-1)}{{e}^{2x}}$,
令g(x)=0,有ex-1=0,即x=0;或x2-2x-a=0;△=4+4a,
①当a<1时,△<0函数g(x)有1个零点 x1=0;  
②当a=-1时,△=0函数g(x)有2个零点x1=0,x2=1;
③当a=0时,△>0函数g(x)有两个零点x1=0,x2=2;
④当a>-1,a≠0时,△>0函数g(x)有三个零点:
x1=0,x2=1-$\sqrt{a+1}$,x3=1+$\sqrt{a+1}$;
(II)fn′(x)=$\frac{(2x-2){e}^{nx}-n({x}^{2}-2x-a){e}^{nx}}{{e}^{nx}}$=$\frac{-n{x}^{2}+2(n+1)x+na-2}{{e}^{nx}}$,
设gn(x)=-nx2+2(n+1)x+an-2,gn(x)的图象是开口向下的抛物线,
由题意对任意n∈N*,gn(x)=0有两个不等实数根x1,x2
且x1∈[1,4],x2∉[1,4],则对任意n∈N*,gn(1)gn(4)<0,
即n•(a+1)•n•[a-(8-$\frac{6}{n}$)]<0,有(a+1)[a-(8-$\frac{6}{n}$)]<0,
又任意n∈N*,8-$\frac{6}{n}$关于n递增,8-$\frac{6}{n}$≥8-6=2,
故-1<a<(8-$\frac{6}{n}$)min,所以-1<a<2.
所以a的取值范围是(-1,2).

点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值,同时考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于难题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网