Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，过圆x²+y²=1上一点做圆的切线，交椭圆于A，B两点，F为椭圆的右焦点，求△ABF的周长．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，由|AQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，|BQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，求出|AB|+|AF|+|BF|=2a，由此能求出△ABF的周长．

解答 解：如图示：
，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则AQ²=OA²-OQ²=${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-1=$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$，
∴AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
同理：BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，
而AF=2a-$\sqrt{{{（x}_{1}+1）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2），
同理：BF=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₂+2），
∴AB+AF+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2）+2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₂+2）=2$\sqrt{2}$，
∴△ABF的面积是：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形周长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的灵活运用．