题目内容
15．设函数f（x）=x3+3ax2-9x+5，若f（x）在x=1处有极值（1）求实数a的值
（2）求函数f（x）的极值
（3）若对任意的x∈[-4，4]，都有f（x）＜c2，求实数c的取值范围．
分析 （1）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a=1；
（2）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值；
（3）求出函数在[-4，4]上的最大值，由不等式恒成立思想可得c的二次不等式，解得c即可得到范围．
解答 解：（1）f′（x）=3x2+6ax-9，
由已知得f′（1）=0，即3+6a-9=0，
解得a=1．
（2）由（1）得：f（x）=x3+3x2-9x+5，
则f′（x）=3x2+6x-9，
令f′（x）=0，解得x1=-3，x2=1，
当x∈（-∞，-3），f′（x）＞0，当x∈（-3，1），f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-3处取得极大值，极大值f（-3）=32，
在x=1处取得极小值，极小值f（1）=0；
（3）由（2）可知极大值f（-3）=32，极小值f（1）=0，
又f（-4）=25，f（4）=81，
所以函数f（x）在[-4，4]上的最大值为81，
对任意的x∈[-4，4]，都有f（x）＜c2，
则81＜c2，
解得c＞9或c＜-9．
即有c的范围为（-∞，-9）∪（9，+∞）．
点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查极值、最值的求法，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．
练习册系列答案
口算题天天练系列答案
相关题目
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的四个顶点所构成的菱形的边长是$\sqrt{5}$，面积是4，圆R：（x-4）2+y2=r2（6＞r＞2）与椭圆C交于点M与点N，连接RM并延长交椭圆于点P．