题目内容
18．已知数列{an}中，a1=2，an+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，令bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，证明：{bn}是等差数列．分析 把已知的数列递推式变形，得到$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}+1$，结合bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，可得{bn}是等差数列．
解答 证明：由an+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，得${a}_{n+1}-1=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}-1=\frac{2{a}_{n}-1-{a}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n}-1+1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}+1$，
又bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，得bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1．
∵a1=2，∴${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$．
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．
练习册系列答案
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8．
如图所示，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=$\frac{1}{2}$AE．设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为（ ）
如图所示，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=$\frac{1}{2}$AE．设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
9．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，一质点从顶点A射向正方体A1B1C1D1区域内任意一点E，遇正方体的面反射，则恰好经过两次反射落入以正方形ABCD中心O为圆心半径为1的圆内的概率为（ ）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，一质点从顶点A射向正方体A1B1C1D1区域内任意一点E，遇正方体的面反射，则恰好经过两次反射落入以正方形ABCD中心O为圆心半径为1的圆内的概率为（ ）| A． | $\frac{π}{8}$ | B． | 1-$\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{2}$-1 | D． | $\frac{π}{4}$ |