Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）所求椭圆方程为．

（2）椭圆C上存在四个点分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.

【解析】

(1)利用椭圆的性质可求解出a、b；

（2）先假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形，点P是以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点，构造方程组即可解得P的坐标.

(1) ,

(2)假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形,点P为以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点.

即 解得

所以点P的坐标是