Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左右顶点，点在上，且面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点.证明：直线平分线段.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析：（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆方程.

（2）由题意设，，，线段的中点.则，①易知平分线段；②，，因点，在椭圆上，根据点差法整理得，所以，直线平分线段.

详解：解：（Ⅰ）由椭圆的性质知当点位于短轴顶点时面积最大.

∴有，解得，

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：设，，，线段的中点.

则，，

由（Ⅰ）可得，则直线的斜率为.

当时，直线的斜率不存在，由椭圆性质易知平分线段，

当时，直线的斜率.

∵点，在椭圆上，，

整理得：，

又，，

∴，直线的斜率为，

∵直线的斜率为，

∴直线平分线段.