题目内容
【题目】设函数,
.
(1)若(其中
)
(ⅰ)求实数t的取值范围;
(ⅱ)证明:;
(2)是否存在实数a,使得在区间
内恒成立,且关于x的方程
在
内有唯一解?请说明理由.
【答案】(1)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析;(2)存在,理由见解析.
【解析】
(1)(ⅰ)求得的导函数
,判断出
的单调性,根据函数
与
在
的图象有两个不同的交点可得
的范围;
(ⅱ)将证明成立,转化为证:
,结合
在
上的单调性,转化为证
,结合换元法以及导数的工具作用证得上述不等式成立,由此证得
成立.
(2)构造函数,首先判断出
,利用
求得
的可能取值为
.利用导数证明当
时,
在区间
内恒成立,且关于x的方程
在
内有唯一解
.
(1)(ⅰ)解:
在
递增,
递减,且
又当
时,
;当
时,
(ⅱ)由(ⅰ)知:,
要证:成立,只需证:
在
递增,故只需证:
即证:
令,只需证:
,即证:
令,
,
.证毕
(2)令
,且需
在区间
内恒成立
,可得
事实上,当时,
,下证:
法一:,
令,则
在
单调递减,
由于,
,
存在
使
在
单调递增,
单调递减,且
.
,
在
递减,
递增,
,
在区间
内恒成立,
当
时,
在区间
内恒成立,且
在
内有唯一解
,证毕.
法二:
令,则
,所以
在
递减,
递增
,即
,
在
递减,
递增,
在区间
内恒成立
当
时,
在区间
内恒成立,且
在
内有唯一解
,证毕.
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【题目】4月23日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:
小组 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
人数 | 12 | 9 | 6 | 9 |
(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,求这2人来自同一个小组的概率;
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,用表示抽得甲组学生的人数,求随机变量
的分布列和数学期望.
【题目】现从某医院中随机抽取了位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:
分制),用相关的特征量
表示;医护专业知识考核分数(试卷考试:
分制),用相关的特征量
表示,数据如下表:
(1)求关于
的线性回归方程(计算结果精确到
);
(2)利用(1)中的线性回归方程,分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响,并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为分时,他的关爱患者考核分数(精确到
).
参考公式及数据:回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
,其中
.