题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在
处的切线方程.
(Ⅱ)求的单调区间.
(Ⅲ)设,其中
,证明:函数
仅有一个零点.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)单调增区间为
单调减区间为
(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,所以
,又
可得
在
处的切线方程(Ⅱ)令
,解出
,令
,解出
,可得
的单调区间.(Ⅲ)
,
在
单调递增在
单调递减,在
单调递增,且
极大值
,
极小值
可得
在
无零点,
在有一个零点,所以
有且仅有一个零点.
试题解析:
(Ⅰ)∵,
,
∴.
,
∴在
处切线为
,即为
.
(Ⅱ)令,解出
,
令,解出
.
∴的单调增区间为
,
单调减区间为.
(Ⅲ)
,
.
令,解出
或
,
令,解出
.
∴在
单调递增在
单调递减,
在单调递增.
极大值
,
极小值
,
∵在时,
极大值小于零,
在时,
极小值小于零.
在,
单调递增,
说明在
无零点,
在有一个零点,
∴有且仅有一个零点.
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