Question

【题目】已知、是椭圆上关于轴对称的两点，是的左焦点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线过点，和椭圆相交于、两点，，.点坐标是，设的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据焦点坐标和椭圆的定义求出、，进而求出，确定出椭圆的标准方程；

（2）先联立方程组得出根与系数关系，再结合，求出的取值范围，利用点到直线的距离公式求出到的距离，根据弦长公式计算出，借助面积公式求出的关于的函数，利用函数性质求出的范围．

解：（1）由题意，是椭圆的右焦点，

∵、关于轴对称，、关于轴对称，∴.

∵，∴，∴，

又是的左焦点，∴.

∴的标准方程是.

（2）设、（），

由条件可得，直线的方程为，即.

又，，∵，∴.

由方程组得，.

∴，.

∴，解得，.

∴，解得.

∵，∴.

∵，∴点到直线的距离为.

又

∴面积.

∴，即面积的取值范围是.