Question

【题目】已知定义在上的函数.

（1）求单调区间；

（2）当时，证明：若、是函数的两个零点，则.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求得，然后对与的大小关系进行分类讨论，分析导数符号的变化，即可得出函数的单调递增区间和减区间；

（2）由（1）可知，函数在上单调递增，构造函数，利用导数证明出函数在区间上单调递增，进而可得出，设，，由得出，再由函数在区间上的单调性可得出结论.

（1），，

令得或.

当时，恒成立，此时，函数的单调增区间为；

当时，由，得或；由，得.

此时，函数的单调减区间为，单调增区间为和；

当时，由，得或；由，得.

此时，函数的单调减区间为，单调增区间为和.

综上所述，当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为和；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为和；

（2）当时，，则，

由（1）知，函数的两个极值点分别为和，且函数在上单调递增.

令，可得，令，

所以，直线与函数的图象交点的横坐标即为函数的零点.

且，所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，

所以，函数的极小值为，极大值为，且恒成立.

作出直线与函数的图象如下图所示：

当时，则直线与函数的图象至少有两个交点，

且其中两个交点的横坐标可作为、，并设.

①若，显然；

②若，令，

则，

当时，，，

所以，函数在上单调递增，

，即，

不妨设，，则，即，，

.

综上所述，.