题目内容
5．在平面几何中有如下结论：正三角形的边长为a，则它的内切圆的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a．通过类比，在空间中可以得到：正四面体的棱长为a，则它的内切球的半径r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．分析 平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．
解答 
解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×$\frac{1}{3}$S•r=$\frac{1}{3}$•S•h，r=$\frac{1}{4}$h．
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
所以它的内切球的半径r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．
点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
练习册系列答案
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16．已知不等式$\frac{x-3}{ax+b}$＞0的解集为（-1，3），那么$\frac{{{a^3}-2{b^3}}}{{3{b^2}a}}$=（ ）
| A． | 3 | B． | -$\frac{1}{3}$ | C． | -1 | D． | 1 |
10．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（ ）
| A． | $（20+4\sqrt{3}）c{m^2}$ | B． | $（20+4\sqrt{2}）c{m^2}$ | C． | $（20+\sqrt{2}）c{m^2}$ | D． | $（10+4\sqrt{2}）c{m^2}$ |