Question

14．已知某公司生产一种零件的年固定成本是3万元，每生产1千件，须另投入2万元，设该公司年内共生产该零件x千件并全部销售完，每1千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5.6-\frac{{x}^{2}}{30}（0＜x≤10）}\\{\frac{133}{x}-\frac{1250}{{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$
（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该公司在这种零件的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （1）根据条件建立函数关系即可写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和最值，即可得到结论．

解答 解：（1）当0＜x≤10时，W（x）=xR（x）-（3+2x）=3.6x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-3．
当x＞10时，W（x）=xR（x）-（3+2x）=130-$\frac{1250}{x}$-2x，
∴W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3.6x-\frac{{x}^{3}}{30}-30，}&{0＜x≤10}\\{130-\frac{1250}{x}-2x，}&{x＞10}\end{array}\right.$．
（2）①当0＜x≤10时，由W′（x）=3.6-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=6，
又当x∈（6，10）时，W′（x）＜0，即W（x）在（6，10）上是减函数，
当x∈（0，6）时，W′（x）＞0，即W（x）在（0，6）上是增函数，
∴当x=6时，W（x）_max=W（6）=3.6×6-$\frac{{6}^{3}}{30}-3$=11.4．
②当x＞10，W=130-$\frac{1250}{x}$-2x=130-（$\frac{1250}{x}$+2x）≤130-2$\sqrt{\frac{1250}{x}•2x}$=30，
当且仅当$\frac{1250}{x}$=2x时，即x=25时，W（x）_max=30，
由①②知，当x=25千件时，W取最大值30万元．

点评 本题主要考查函数的应用问题，利用导数研究函数的单调性，结合函数的最值是解决本题的关键．