Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

Answer 1

分析：解法（一）：
（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D₁E⊥A₁D总是成立的．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据V三棱锥D1-ACE=V三棱锥E-D1AC既可以求得点E到面ACD₁的距离．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，
则∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）因为

DA1

•

D1E

=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

．
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，设平面ACD₁的法向量为

n

=(a，b，c)，从而

n

=(2，1，2)，所以点E到平面AD₁C的距离为h=

| D1E • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．
（3）设平面D₁EC的法向量

n

=(a，b，c)，可求得

n

=(2-x，1，2)．，因为二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

，所以根据余弦定理可得AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

解答：解法（一）：
（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=

5

，AD₁=

2

，
故S△AD1C=

1

2

•

2

•

5- 1 2

=

3

2

，而S△ACE=

1

2

•AE•BC=

1

2

．∴VD1-AEC=

1

3

S△AEC•DD1=

1

3

S△AD1C•h，
∴

1

2

×1=

3

2

×h，∴h=

1

3

．
（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角．
设AE=x，则BE=2-x在Rt△D₁DH中，∵∠DHD1=

π

4

，∴DH=1．
∵在Rt△ADE中，DE=

1+x2

，
∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=

3

，在Rt△CBE中CE=

x2-4x+5

．
∴x+

3

=

x2-4x+5

?x=2-

3

．
∴AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）因为

DA1

•

D1E

=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

．
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，设平面ACD₁的法向量为

n

=(a，b，c)，
则

n • AC =0 n • AD1 =0

也即

-a+2b=0 -a+c=0

，得

a=2b a=c

，从而

n

=(2，1，2)，所以点E到平面AD₁C的距离为h=

| D1E • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．
（3）设平面D₁EC的法向量

n

=(a，b，c)，
∴

CE

=(1，x-2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

D D   1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

?

2b-c=0 a+b(x-2)=0.

令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴

n

=(2-x，1，2)．
依题意cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

2

2

?

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合，舍去），x2=2-

3

．
∴AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．