题目内容

10.求经过圆x2+y2=58与直线6x+8y-3=0的交点,且分别满足下列条件的圆的方程:
(1)面积最小的圆;
(2)圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$.

分析 (1)设圆的方程为x2+y2+λ(6x+8y-3)-58=0,圆心为(-3λ,-4λ),确定圆的半径,利用配方法,即可求出面积最小的圆;
(2)利用圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$,根据勾股定理,建立方程,即可得出结论..

解答 解:(1)设圆的方程为x2+y2+λ(6x+8y-3)-58=0,圆心为(-3λ,-4λ),
半径为$\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$=$\sqrt{25(λ+\frac{3}{50})^{2}+58-\frac{9}{100}}$,
∴λ=-$\frac{3}{50}$时,圆的面积最小,圆的方程为x2+y2-$\frac{9}{25}$x-$\frac{12}{25}$y-$\frac{2891}{50}$=0;
(2)圆心为(-3λ,-4λ),到直线x+y-1=0的距离d=$\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$,
∵圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3$\sqrt{22}$.
∴($\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$)2=($\frac{3\sqrt{22}}{2}$)2+($\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$)2
∴λ=18±9$\sqrt{3}$,
∴圆的方程为x2+y2+(108-54$\sqrt{3}$)x+(44-72$\sqrt{3}$)y+27$\sqrt{3}$-122=0或x2+y2+(108+54$\sqrt{3}$)x+(44+72$\sqrt{3}$)y-27$\sqrt{3}$-122=0.

点评 本题考查圆的方程,考查圆系方程的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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