Question

19．已知sin（-α），cos（-α）是关于x的方程2x²+x+m=0的两个根，且α为第三象限角．
（1）求m的值；
（2）求$\frac{1+sinα+cosα+2sinα•cosα}{1+sinα+cosα}$的值；
（3）求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，两边平方后可得m直；
（2）由（1）中求得的sinαcosα的值，结合α为第三象限角求得sinα+cosα，代入$\frac{1+sinα+cosα+2sinα•cosα}{1+sinα+cosα}$得答案；
（3）由sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$求出sinα，cosα，由商的关系求得tanα的值．

解答 解：（1）由题意可知，sin（-α）+cos（-α）=$-\frac{1}{2}$，①
sin（-α）cos（-α）=$\frac{m}{2}$，②
由①得，sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，两边平方得：sin2α=$\frac{3}{4}$．
由②得，m=-sin2α，∴m=-$\frac{3}{4}$；
（2）∵sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，且α为第三象限角，
∴sinα+cosα=-$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}}$=-$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}+4sinαcosα}$=-$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴$\frac{1+sinα+cosα+2sinα•cosα}{1+sinα+cosα}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{3}{4}}{1-\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$-\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（3）∵sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴sinα=$\frac{1-\sqrt{7}}{4}$，cosα=$\frac{-1-\sqrt{7}}{4}$，
则tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{\frac{1-\sqrt{7}}{4}}{\frac{-1-\sqrt{7}}{4}}$=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查三角恒等变换及化简求值，由sinα-cosα的值求解sinα+cosα的值是解答该题的关键，是中档题．