Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1 ， C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ= （ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ= （ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2 ，ρ2= ，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|= ，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为 C2MC2N= 11= ．

【解析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1 ， C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3 ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积 C2MC2N的值．