Question

17．已知函数f（x）=a（1-2|x-$\frac{1}{2}$|），a为实数且a＞0．若x满足f（f（x））=x，且（f（x）≠x，则称x为函数f（x）的二阶周期点，求f（x）的二阶周期点．

Answer 1

分析 当0＜a＜1时，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{4{a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；当a=$\frac{1}{2}$时，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；当a＞$\frac{1}{2}$时，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-4{a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+4{a}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{4{a}^{2}-4{a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$；
从而分别讨论是否存在二阶周期点即可．

解答 解：当0＜a＜1时，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{4{a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（f（x））=x只有一个解x=0，
又f（0）=0，故0不是二阶周期点，
当a=$\frac{1}{2}$时，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=x有解集{x|x$≤\frac{1}{2}$}，
故此集合中的所有点都不是二阶周期点，
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-4{a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+4{a}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{4{a}^{2}-4{a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=x有四个解：0，$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{2a}{1+2a}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$；
由f（0）=0，f（$\frac{2a}{1+2a}$）=$\frac{2a}{1+2a}$，f（$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$）≠$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，f（$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$）≠$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$．
故只有$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$是f（x）的二阶周期点，
故当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，没有二阶周期点，
当a＞$\frac{1}{2}$时，只有$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$是f（x）的二阶周期点．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．