题目内容
【题目】在无穷数列中,
是给定的正整数,
,
.
(Ⅰ)若,写出
的值;
(Ⅱ)证明:数列中存在值为
的项;
(Ⅲ)证明:若互质,则数列
中必有无穷多项为
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
(I)根据以及
的值,由此求得
的值,找出规律,求得
的值.(II)利用反证法,先假设
,利用递推关系找出规律,推出矛盾,由此证明原命题成立.(III)首先利用反证法证明数列
中必有“1”项,其次证明数列
中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.
解:(I)由,以及
,可知,
,
,从
开始,规律为两个
和一个
,周期为
,重复出现,故
.
(II)反证法:假设,
由于
,
记.则
.
则,
,
,
,
,
依次递推,有,
…,
则
当时,
与
矛盾.
故存在,使
所以,数列必在有限项后出现值为
的项.
(III)首先证明:数列中必有“1”项.用反证法,
假设数列中没有“1”项,由(II)知,数列
中必有“0”项,设第一个“0”项是
,令
,
,则必有
,
于是,由,则
,因此
是
的因数,
由,则
或
,因此
是
的因数.
依次递推,可得是
的因数,因为
,所以这与
互质矛盾.所以,数列
中必有“1”项.
其次证明数列中必有无穷多项为“1”.
假设数列中的第一个“1”项是
,令
,
,
则,
若
,则数列中的项从
开始,依次为“1,1,0”的无限循环,
故有无穷多项为1;
若,则
,
若,则进入“1,1,0”的无限循环,有无穷多项为1;
若,则从
开始的项依次为
,
必出现连续两个“1”项,从而进入“1,1,0”的无限循环,故必有无穷多项为1.
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