Question

【题目】已知数列的各项均不为零．设数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn， 且 ．

（1）求的值；

（2）证明：数列是等比数列；

（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）数列是以1为首项，为公比的等比数列；（3）0

【解析】

（1）令n=1,n=2列关于的方程求解即可；（2）因为， ①，②，②①得 ③

进一步有④，③④得，检验n=1 成立，即可证明是等比数列（3）由（2）将代入不等式，由对任意的恒成立，所以适合，讨论，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时恒成立，通过证明，单调减，，即（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有合适

（1）因为，．

令，得，因为，所以．

令，得，即，

因为，所以．

（2）因为， ①

所以， ②

②①得，，

因为，所以，③

所以， ④

当时，③④得，，即，

因为，所以．

又由（1）知，，，所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．

（3）由（2）知，．

因为对任意的，恒成立，

所以的值介于和之间．

因为对任意的恒成立，所以适合．

若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．

记，因为，

所以，即，所以（*），

从而当时，有，所以不符．

若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立．

由（*）式知，当时，有，所以不符．

综上，实数的所有值为0．