题目内容

【题目】如图,在四棱柱 中,,且

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ) 求证:

(Ⅲ) ,判断直线 与平面 是否垂直?并说明理由.

【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析.

【解析】

()由题意结合几何关系可证得平面BCC1B1∥平面ADD1A1,据此结合面面平行的性质即可证得题中的结论;

()由题意可证得AC⊥平面BB1D,据此证明题中的结论即可;

()结论:直线B1D与平面ACD1不垂直,利用反证法,假设B1D⊥平面ACD1,结合题意得到矛盾的结论即可说明直线B1D与平面ACD1不垂直.

证明:()ADBC,BC平面ADD1A1,AD平面ADD1A1

BC∥平面ADD1A1,

CC1DD1,CC1平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,

CC1∥平面ADD1A1

又∵BCCC1=C

∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1,

又∵B1C平面BCC1B1

B1C∥平面ADD1A1.

()BB1⊥平面ABCDAC底面ABCD,∴BB1AC,又∵ACBD,BB1BD=B

AC⊥平面BB1D,

又∵B1D底面BB1D

ACB1D;

()结论:直线B1D与平面ACD1不垂直,

证明:假设B1D⊥平面ACD1

AD1平面ACD1,可得B1DAD1,

由棱柱,BB1⊥底面ABCD,BAD=90°

可得:A1B1AA1,A1B1A1D1

又∵AA1A1D1=A1

A1B1⊥平面AA1D1D

A1B1AD1,

又∵A1B1B1D=B1

AD1⊥平面A1B1D

AD1A1D,

这与四边形AA1D1D为矩形,AD=2AA1矛盾,故直线B1D与平面ACD1不垂直.

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