题目内容

【题目】设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2 , 则不等式(x+2016)2f(x+2016)﹣4f(﹣2)>0的解集为(
A.(﹣∞,﹣2016)
B.(﹣∞,﹣2014)
C.(﹣∞,﹣2018)
D.(﹣2018,﹣2014)

【答案】C
【解析】解:由2f(x)+xf′(x)>x2 , (x<0),
得:2xf(x)+x2f′(x)<x3
即[x2f(x)]′<x3<0,
令F(x)=x2f(x),
则当x<0时,
得F′(x)<0,即F(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
∴F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(﹣2)=4f(﹣2),
即不等式等价为F(x+2016)﹣F(﹣2)>0,
∵F(x)在(﹣∞,0)是减函数,
∴由F(x+2016)>F(﹣2)得,x+2016<﹣2,
即x<﹣2018,
故选:C.
根据条件,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.

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