Question

已知函数f(x)=x²-x+13,|x-a|<1.
求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

Answer 1

见解析

证明：|f(x)-f(a)|=|x²-x+13-(a²-a+13)|
=|x²-a²-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),
所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).