Question

14．已知函数f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x，x∈R． 求：
（1）f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）函数f（x）的最小值及相应x值；
（3）函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化简．
（1）直接把x=$\frac{π}{12}$代入求得f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）由相位的终边落在y轴负半轴上求得函数f（x）的最小值及相应x值；
（3）利用复合函数的单调性求得函数f（x）的递增区间．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x
=1+sin²x+sinx•cosx=1+$\frac{1-cos2x}{2}$$+\frac{1}{2}sin2x$
=$\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）$$+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$．
（1）f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}-cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$+\frac{5}{4}$；
（2）f（x）的最小值为$\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时$2x-\frac{π}{4}=2kπ-\frac{π}{2}$，即$x=kπ-\frac{π}{8}，k∈Z$；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的递增区间为[$-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，属中档题．