Question

3．f（x）=-$\sqrt{4+\frac{1}{{x}^{2}}}$，{a_n}的前n项和为S_n，点P（a_n，-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）在y=f（x）的图象上，a₁=1，a_n＞0
（1）求a_n
（2）{b_n}点前n项和为T_n，且$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}^{2}}_{n}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$+16n²-8n-3，求b₁的值，使{b_n}等差
（3）求证：S_n＞$\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过将点P（a_n，-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）代入y=f（x）并两边同时取平方可知数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4n-3、化简$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}^{2}}_{n}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$+16n²-8n-3可知$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}$-$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，记c_n=$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$，则c_n=c₁+n-1，进而可得结论；
（3）通过变形、分母有理化、裂项可知a_n＞$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），并项相加即得结论．

解答 （1）解：依题意，-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-$\sqrt{4+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}}$，
∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，
又∵$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项、4为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
∴a_n=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}}$；
（2）解：∵$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4n-3，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}^{2}}_{n}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$+16n²-8n-3，
等价于：（4n-3）•T_n+1=（4n+1）•T_n+（4n-3）（4n+1），
∴$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}$-$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，
记c_n=$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$，则数列{c_n}是等差数列，
∴c_n=c₁+n-1，
若数列{b_n}为等差数列，则T₁=1，即b₁=1，
∴T_n=n（4n-3）=4n²-3n，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7，
当n=1时T₁=b₁=1满足上式，
∴当b₁=1时数列{b_n}为等差数列；
（3）证明：∵a_n=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}}$，
∴a_n=$\frac{2}{2\sqrt{4n-3}}$＞$\frac{2}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），
∴S_n＞$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1+$\sqrt{9}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$）=$\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．