题目内容
【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|的定义域为D,其中a为常数;
(1)若D=R,且f(x)是奇函数,求a的值;
(2)若a≤﹣1,D=[﹣1,0],函数f(x)的最小值是g(a),求g(a)的最大值;
(3)若a>0,在[0,3]上存在n个点xi(i=1,2,…,n,n≥3),满足x1=0,xn=3,x1<x2<…<xn , 使|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xn﹣1)﹣f(xn)|= ,求实数a的取值.
【答案】
(1)解:∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(﹣1)+f(1)=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0,
∴|a﹣1|=|a+1|,解得a=0.
∴f(x)=x|x|,经过验证满足题意
(2)解:a≤﹣1,D=[﹣1,0],函数f(x)=x(x﹣a)= ﹣
,
①a≤﹣2时,对称轴x= ≤﹣1,函数f(x)在D上单调递增,
∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣(﹣1﹣a)=a+1,
则g(a)≤﹣2+1=﹣1,
故g(a)的最大值为﹣1;
②﹣2<a≤﹣1时,对称轴x= ∈
,函数f(x)在(
,﹣
)上单调递增,
在[﹣1, ]单调递减;
∴f(x)的最小值是f( )=﹣
,
则g(a)≤﹣ ,
故g(a)的最大值为﹣
(3)解:a>0,函数f(x)=x|x﹣a|的图象可由f(x)=x|x|的图象右移a个单位得到.
而f(x)=x|x|= ,x>0时递增,x<0时递增,且f(x)的图象连续,
则函数f(x)=x|x﹣a|在[0,3]递增,
即有|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xn﹣1)﹣f(xn)|= ,
化为﹣(f(x1)﹣f(x2)+f(x2)﹣f(x3)+…+f(xn﹣1)﹣f(xn))= ,
即﹣(f(0)﹣f(3))= ,
则3|3﹣a|﹣0= ,
解得a= 或
.
则实数a的取值为{ ,
}
【解析】(1)由奇函数的定义可得f(﹣1)+f(1)=0,解得a=0,即可得到f(x)的解析式;(2)化简f(x),对a讨论,①a≤﹣2时,②﹣2<a≤﹣1时,由二次函数对称轴,结合单调性即可得到最值;(3)a>0,函数f(x)=x|x﹣a|的图象可由f(x)=x|x|的图象右移a个单位得到.判断f(x)=x|x|在R上递增,可得函数f(x)=x|x﹣a|在[0,3]递增,去掉绝对值,化简整理计算即可得到a的取值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,以及对函数的奇偶性的理解,了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
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