Question

【题目】已知直线过定点P（2，1）．
（1）求经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）若过点P的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线过定点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等，

设直线方程为：x+y=a，将P（2，1）代入得：a=3，

故直线方程是：x+y﹣3=0

（2）解：由题意设直线的截距式方程为 =1（a，b＞0），

∵直线过P（2，1），∴ + =1，

∴1= + ≥2 ，∴ab≥8，

当且仅当 = 即a=4且b=2时取等号，

∴△AOB的面积S= ab≥4，

∴△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为 =1，

化为一般式方程可得x+2y﹣4=0

【解析】（1）设出直线的方程，代入P点，求出即可；（2）由题意设直线的截距式方程为 =1（a，b＞0），可得 + =1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面积S≥4，可得此时直线的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解截距式方程的相关知识，掌握直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中．