题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)对函数求导研究函数的单调性,通过导函数的正负得到原函数的单调区间;(2)对任意
恒成立,即
对任意
恒成立,令
,对这个函数求导研究函数的单调性,使得最值大于0即可.
解析;
(1),定义域
所以.
讨论:
当时,对
或
,
成立,
所以函数在区间
,
上均是单调递增;
当时,对
或
,
成立,
所以函数 在区间
,
上均是单调递减;
当时,函数
是常函数,无单调性.
(2)若,
对任意
恒成立,即
对任意
恒成立.
令,则
.
讨论:
①当,即
时,
且
不恒为0,
所以函数在区间
单调递增.
又,所以
对任意
恒成立.
故符合题意
②当时,令
得
;令
,得
.
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以,即当
时,存在
,使
.
故知对任意
不恒成立,故
不符合题意.
综上实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况,则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良?
(Ⅱ)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气,空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为1000元,空气质量等量等级为3级时每天需净化空气的费用为2000元.若从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天,求这两天的净化空气总费用为3000元的概率.